Sự thay đổi cốt lõi: Từ Tổng đến Tích phân
Biến ngẫu nhiên $X$ được gọi là liên tục nếu tồn tại một hàm số không âm $f$, được gọi là hàm mật độ xác suất (PDF) của $X$, sao cho với mọi tập hợp các số thực $B$:
$P\{X \in B\} = \int_B f(x) dx$
Quan trọng nhất, điều này ngụ ý rằng với bất kỳ giá trị cụ thể nào $a$, ta có $P(X = a) = \int_a^a f(x) dx = 0$. Trong miền liên tục, chúng ta chỉ nói đến xác suất trên các khoảng.
Sự phối hợp giữa PDF và CDF
Hàm phân bố tích lũy (CDF) $F(x)$ đóng vai trò như bộ tích lũy xác suất từ âm vô cùng đến $x$:
$\frac{d}{dx}F(x) = f(x)$
Các đại lượng đo xu hướng trung tâm
- Giá trị kỳ vọng: $E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx$
- Trung vị ($m$): Điểm chia đôi diện tích, nơi mà $F(m) = \frac{1}{2}$.
- Phương sai: Giá trị của $x$ tại đó $f(x)$ đạt cực đại.
Giới hạn của phép tổng
Để hiểu rõ hơn về "tích phân" trong hành trình của chúng ta, hãy đối chiếu thế giới rời rạc—nơi mà chúng ta có thể tìm thấy định lý Legendre ($\sum_{k=1}^{\infty} 1/k^2 = \pi^2/6$) hoặc logic phức tạp cho các ước số (trong đó với $D=k$, $k$ phải chia hết cả $X$ và $Y$, và $X/k$, $Y/k$ phải nguyên tố cùng nhau)—với thế giới liên tục. Ở đây, chúng ta tính phương sai theo công thức $Var(X) = E[(X - E[X])^2]$ và kỳ vọng của các hàm số thông qua $E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x)f(x) dx$.